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周显欣:可以说,素数是数论中最基础而最重要的概念。如果一个大于二的正整

周显欣:可以说,素数是数论中最基础而最重要的概念。如果一个大于二的正整

  那么,我们自然要问:素数作为自然数的组成单元,它们有多少个?

  有无限个

  2、3、5、7、11、13……最初的几个素数,要找出来并不困难,但随着数字增大,如果一个一个数字按照定义去筛选是否素数,工作量会很快变得十分庞大。同为古希腊数学家的埃拉托色尼,给出了一个比较省力的算法,后人称之为埃拉托色尼筛法。

  首先,列出从2开始的数。然后,将2记在素数列表上,再划去所有2的倍数。根据定义,剩下的最小的数——在这里是3——必定是素数。将这个数记在素数列表上,再划去所有它的倍数,这样又会剩下一些数,取其中最小的,如此反复操作。最后剩下的都是素数。

  【埃拉托色尼筛法,图片出处:维基百科】

  在无限延伸的自然数集中,向无穷的地平线望去,虽然仍有无穷的素数,但它们似乎也愈变孤独。

  这种孤独甚至是可以度量的。在十八世纪的尾巴,年仅15岁的高斯独立提出了一个猜想:在n附近素数的密度大约是n的对数。也就是说,相邻素数之间的平均距离大概与它们的对数成正比,虽然增长很慢,但却义无反顾奔向无穷。但即使是高斯,也无法严格地证明他的猜想,要等两个世纪后的阿达玛(J. Hadamard)和德拉瓦莱普森(C. J. de la Vallée-Poussin),才能将这个猜想变成现在的“素数定理”。

  虽然如此,偶尔也会有成对出现的素数,它们之间只相差2。像这样成对出现的素数,在那些孤独的同伴看来,无疑是异类。

  它们被称为孪生素数。

  2

  一个自然的问题是,孪生素数有多少?

  孪生素数猜想断言,有无限对这样的孪生素数。但还没有人能严格地证明这一点。在1849年,数学家A. de Polignac甚至猜想,对于任意的偶数2k

  与此同时,行外人的评价却似乎异常中肯:“为什么素数要相加呢?素数是用来相乘而不是相加的”。

  当然,如果只将素数用在只与乘法有关的问题上,事情当然简单得多。但如果我们想要更多地了解自然数的玄机,那必然涉及到加法和乘法的相互作用。缩在“容易”的圈子里从来无补于事。如同探险家一般,数学家也有着征服难题的渴望,因为在那困难的山巅上,有着无尽的风光。为了难题产生的新方法、新思想,可能会开辟出意想不到的新天地。

  【画在平面上的素数分布,图片出处:维基百科】

  孪生素数的难点在于,它是一个关于素数的具体分布的问题,而我们对素数的具体分布知之甚少。素数定理只告诉我们素数的大体分布,而对于具体一个个素数的位置却无能为力。如同繁星,素数点缀着自然数的夜空,放眼望去,它们朝向无限的地平线愈见稀薄。但要想分清这无限繁星中的每一颗,即使用上最好的望远镜,也无可奈何。

  所以,在很长一段时间里,对于孪生素数猜想,人们仍然停留在揣测和估计的层面。

  首先尝试直接猜测的,是英国数学家哈代(G. H. Hardy)和李特尔伍德(J. E. Littlewood),他们在1923年开始了一系列的猜测。

  【霸气的哈代,图片出处:维基百科】

  实际上,这是所谓“第一哈代-李特尔伍德猜想”的一个特殊情况,难度甚至远高于孪生素数猜想:它不仅隐含了孪生素数猜想,而且对具体的分布作出了精细的估计。虽然上面的论证看上去很诱人,但它并不是一个严谨的证明,因为它的大前提——素数是随机分布的——本来就不成立。素数的分布有着深刻的规律,远远不是一句“随机分布”所能概括的。

  人们此前猜测,小于某一个数N的素数个数π(N)

  这个例子足以说明素数可以多么深不可测而又出人意料,同时提醒我们,面对无限,不能掉以轻心。无论有多少计算的证据,都不能轻易下定论。征服无限的工具,只有严谨的数学证明。

  3

  既然难以知道孪生素数具体有多少,那么不妨换个思路:孪生素数最多能有多少呢?

  这就是数学家的思路,如果正面久攻不下,那么就从侧面包围。当难以直接得到某个量时,数学家的“本能”会指引他们,尝试从上方和下方去逼近,证明这个量不可能小于某个下界,或者不可能大于某个上界。如此慢慢缩小包围圈,就有希望到达最终的目标。

  【出问题的那款芯片,图片出处:维基百科】

  但布伦的证明意义远不止于此。他的这个证明,正是现代筛法的开端。

  布伦所用的筛法,根源可以追溯到古希腊的埃拉托色尼筛法。还记得我们怎么用埃拉托色尼筛法列出素数表吗?每次获得一个新的素数,我们都要划去所有新素数的倍数,然后剩下最小的数又是一个新的素数。用类似的方法,我们可以估计在某个区间中,比如说在N

  首先,我们假设手头上已有足够大的素数表(大概到2N?√

  【陈景润的雕像,图片出处:维基百科】

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  【张益唐,图片出处:新罕布什尔大学】

  用他的新筛法,张益唐证明了,有无穷对素数,它们相差不过七千万。他将他的新方法与新结论,用简洁明了的语言,写成了一篇论文,投稿到数学界的顶级期刊《数学年刊》。

  作为励志故事,这个结尾再好不过了。

  这就是今天数模君要给大家讲的故事了

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周显欣:可以说,素数是数论中最基础而最重要的概念。如果一个大于二的正整